回帰分析  regression analysis

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回帰分析
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回帰分析  regression analysis

原因と結果の関係を図、数式によって求め分析していく方法。
応答変数に説明変数を結びつけるモデルを評価するための手続きの集まり。(Z 8101-3)
「回帰」という概念は19世紀末に生物統計学者カルトン(F.Galton)によってはじ
めて用いられた。彼は親子の身長の測定値を見て,背の高い親をもつ子の平均身長は親ほど高くなく,背の低い親をもつ子の平均身長は親ほど低くないことに気づき,第2世代は平均の方向に「回帰」すると考えた。
これ以来ふたつの(確率)変量X,Yについて,Xを与えたときのyの期待値をyのXの上への回帰(関数)と呼ぶようになった。
現在では,このような歴史的経緯とあまりかかわりなく,応答変数yの期待値
が説明変数(x1…xp)と未知母数ベクトルθ,既知の関数fを用いて,
E(y)=f(x1…,xp;θ)    (1)
と書けるとき,yと(x1,…,xp)の間には回帰関係があると呼ばれる。
現象の定量的な理解やyの予測のため,有効な回帰モデル(1)を構築すること
が回帰分析の主要な目的であるが,そのためには,必要にして十分な説明変数を
選択し,適当な関数形を定める必要がある。また,モデル検証のためにyの実現
値と予測値との残差を調べる残差分析や式(1)では表しきれない特異な外れ値や
パラメータ推定に大きな影響を与える観測値を検出する回帰診断も,回帰分析の
重要な過程である。
特に,説明変数がX一つであり,平均Oの誤差項εを用いて
y=β0+β1X十ε         (2)
と書ける場合を単回帰分析,同様に
y=β0十β1×1十‥βpxp十ε (3)
と書ける場合を重回帰分析と呼ぶ。

式(2)や式(3)は線形モデルの一種であり,パラメータ推定には,普通,最小二乗法が用
いられる。β0を定数項,βiを(偏)回帰係数,式(2)のβ0+βiXを回帰直線,式(3)
のβ0+β1X1+…+βpxpを回帰平面と呼ぶ。

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