層別化 | QCの七つ道具

層別化
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層別 統計学

層別 平均の関係

層別する前の全体の平均値と層別後の各ロット平均値には下記のような関係がある。

層別後のサンプル数: N1,N2,N3・・・・・Nk

各層別ロットの平均値: μ1,μ2,μ3・・・・μk

soubetu1

全平均=層別ロットの平均の平均

層別 外分散 | σb2

層別された各ロットの平均値を層別ロットのサンプル数をウエィトにした時,層別ロットの分散を外分散といい普通σb2で表わせられる。

層別後のサンプル数: N1,N2,N3・・・・・Nk
各層別ロットの平均値: μ1,μ2,μ3・・・・μk

外分散計算式

外分散計算式

外分散=層別ロットの平均の分散

層別 内分散 | σw2

層別されたロット内の分散をその層別ロットの大きさをウェイトにして全層別ロットに亘って加重平均したものを内分散といい普通σw2で表わせられる。

層別後のサンプル数: N1,N2,N3・・・・・Nk
各層別ロットの分散: σ1,σ2,σ3・・・・σk

内分散計算式

内分散計算式

内分散=層別ロットの分散の平均

層別 全分散、外分散、内分散の関係

層別される以前の集団を全集団といい、その分散を全分散といいます。

ひとつの集団をいくつかの層別ロットに分けると外分散σb2、内分散σw2が生じ全分散との関係は下記の式のようになる。

staratum4

上記の式は全分散が外分散と内分散に分けられることを示している。

層別 分散比

全集団の分類をなるべく類似なものが集まる意図を持って分類(層別)すると外分散σb2は大きく内分散σw2は小さくなる。
一方、何らかの意図もなくランダムに分類した場合は元の集団の大きさ(N)が分割数(K)に比べてはるかに大きければ外分散σb2は小さく内分散σw2は大きくなり全分散σ2と差があまり見られなくなる。

この性質を利用してすでにある意図をもって分類されたと思われる集団に対して外分散σb2、内分散σw2を計算して全分散σ2、内分散σw2を計算して全分散σ2との関係を見ればその分類効果を実証的に評価(外分散σb2が大きいほど分類効果あり)することができる。

また、いくつかの集団の類似性を見たいときはその集団の外分散σb2、内分散σw2、全分散σ2を見ることによって各集団の類似性を評価することができる(外分散σb2が小さいほど類似性がある)
これらの考え方は実務的に大変役に立つものである、分類効果をみるためのひとつの尺度としては下記式がある。

staratum5N:全体の大きさ

K:分割の数

 

 類似のものを集めて分割した場合

Fの値は1よりおおきくなり、分類効果があるほど大きくなる。

層別分析

層別分析

 ランダムにサンプルして分割した場合

Fの値は1に近い値となる

各分割ロットの平均値の差がないように分類した場合

Fの値は1より小さくくなり、分類効果がないと判断される。

層別分析

層別分析

参考文献:QSS-普通科テキスト 統計的手法   日本規格協会

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